每日一题[135] 共圆的向量表达

2015年北京市东城区高三二模理科数学第8题：

在平行四边形$ABCD$中，$\angle BAD=60^\circ$，$AD=2AB$，若$P$是平面$ABCD$内一点且满足$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow 0(x,y\in\mathcal R)$，则当点$P$在以$A$为圆心，$\dfrac{\sqrt 3}{3}\left|\overrightarrow{BD}\right|$为半径的圆上时，$x,y$应满足的关系式为（        ）

A．$4x^2+y^2+2xy=1$

B．$4x^2+y^2-2xy=1$

C．$x^2+4y^2-2xy=1$

D．$x^2+4y^2+2xy=1$

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正确的答案是D．

如图，不妨设$AD=2AB=2$，则$BD=\sqrt 3$，于是圆的半径为$1$．由于

$$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD},$$ 于是 $$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AP}=\left(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}\right),$$ 化简得 $$x^2+4y^2+2xy=1,$$ 因此选D．