江苏海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试第14题：
在平面直角坐标系\(xOy\)中，设\(A\)、\(B\)为函数\(f(x)=1-x^2\)的图象与\(x\)轴的两个交点，\(C\)、\(D\)为函数\(f(x)\)图象上的两个动点，且\(C\)、\(D\)在\(x\)轴上方（不含\(x\)轴），则\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\)的取值范围为________．
正确答案是\(\left(-4,\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}\right]\)．
显然当\(C\to B\)，\(D\to A\)时\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\)最小，因此其下确界为\(-4\)．
不难推知\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\)的最大值一定在\(C\)、\(D\)分别位于\(y\)轴两侧时取得．令\(C(-a,1-a^2)\)，\(D(b,1-b^2)\)，\(a,b\in [0,1]\)，则\[\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=(1-a)(b-1)+\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\\&=\left(1-a-b+ab\right)\left(a+b+ab\right),\end{split}\]令\(a+b=2t\)，\(a-b=2s\)，则\(ab=t^2-s^2\)，于是所求数量积\[\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=\left(1-2t+t^2-s^2\right)\left(2t+t^2-s^2\right)\\&\leqslant \left(1-2t+t^2\right)\left(2t+t^2\right)\\&=t^4-3t^2+2t,\end{split}\]等号当且仅当\(s=0\)时取得．
令\(g(t)=t^4-3t^2+2t\)，\(0<t<1\)，则\[g'(t)=4t^3-6t+2=2(t-1)\left(2t^2+2t-1\right),\]于是当\(t=\dfrac{\sqrt 3-1}{2}\)时，\(g(t)\)取得最大值\(\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}\)．
综上，所求数量积的取值范围是\(\left(-4,\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}\right]\)．