每日一题[2036]标数计算

凸五边形 $ABCDE$ 的对角线 $CE$ 分别与对角线 $BD$ 和 $AD$ 交于点 $F$ 和 $G$．已知 $BF:FD=5:4$，$AG:GD=1:1$，$CF:FG:GE=2:2:3$，$[CFD]$ 和 $[ABE]$ 分别为 $\triangle CFD$ 和 $\triangle ABE$ 的面积，则 $\dfrac{[CFD]}{[ABE]}$ 的值等于_______．

答案    $\dfrac 8{15}$．

解析    如图，设 $AD$ 与 $BE$ 交于点 $H$，依次标数

$$B(4),D(5),F(9),E(6),H(10),$$ 从而 $HG:GD=5:10=1:2$，且 $EH:HB=4:6=2:3$，进而 $$[ABE]=\dfrac 52[AEH]=\dfrac 54[DEG]=\dfrac {15}8[CDF],$$ 因此 $\dfrac{[CFD]}{[ABE]}=\dfrac8{15}$．