每日一题[2035]包络椭圆

从圆 $x^2+y^2=4$ 上的点向椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆 $C$ 内不与任何切点弦相交的区域面积为_______.

答案    $\dfrac{\pi}2$.

解析    设圆 $x^2+y^2=4$ 上一点为 $P(2\cos\theta,2\sin\theta)$,则对应切点弦所在直线 $l$ 的方程为\[\dfrac{2\cos\theta\cdot x}2+2\sin\theta\cdot y=1\iff \dfrac{\cos\theta \cdot x}1+\dfrac{\dfrac 12\sin\theta\cdot y}{\dfrac 14}=1,\]因此直线 $l$ 为椭圆 $E$:$x^2+4y^1=1$ 在点 $\left(\cos\theta,\dfrac 12\sin\theta\right)$ 处的切线,进而可得所求区域面积即椭圆 $E$ 的面积,为 $\dfrac{\pi}2$.

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