每日一题[2034]多项式的有理根

设 $p,q$ 均为不超过 $100$ 的正整数，则有有理根的多项式 $f(x)=x^5+px+q$ 的个数为_______．

答案    $133$．

解析    函数 $f(x)$ 单调递增，因此有唯一负有理根，注意到最高项系数为 $1$，因此 $f(x)$ 的有理根为负整数，设为 $-k$，则

$$-k^5-kp+q=0\implies k^5=q-kp\leqslant 100-1,$$ 因此 $k=1,2$． 当 $k=1$ 时，有 $(p,q)=(t,t+1)$，其中 $t=1,2,\cdots,99$，共 $99$ 组； 当 $k=2$ 时，有 $(p,q)=(t,32+2t)$，其中 $t=1,2,\cdots,34$，共 $34$ 组； 综上所述，符合题意的多项式的个数为 $99+34=133$．