每日一题[2030]二分划中的等差数列

已知 $A,B$ 是正整数集的二分划,证明:$A$ 和 $B$ 中至少有一个集合中存在三个数成等差数列.

解析    考虑 $1,2,3,\cdots,9$ 逐一安排进集合 $A,B$ 且 $1\in A$,必然会出现以下情形之一\[\begin{array}{l|l|c}\hline A&B&\text{无法安排的数}\\ \hline 1,3,4,6&2,5,7&8\\ \hline 1,3,4&2,5,6&7\\ \hline 1,3,6,7&2,4,5&8\\ \hline 1,3,6,8&2,4,5,7&9\\ \hline 1,4,5,7,8&2,3,6&9\\ \hline 1,4,5,7&2,3,6,8&9\\ \hline 1,4,5,8&2,3,6,7&9\\ \hline 1,4,6&2,3,5&7\\ \hline 1,4&2,3,5,6&7\\ \hline 1,2,4,5&3,6,7&8\\ \hline 1,2,4&3,5,6&7\\ \hline 1,2,5,6&3,4,7,8&9\\ \hline 1,2,5,7&3,4,6&8\\ \hline 1,2,5&3,4,6,7&8\\ \hline\end{array}\]这样就证明了命题.

备注    若考虑 $2^1,2^2,2^3,\cdots,2^9$ 逐一安排进集合 $A,B$,且 $2\in A$,就可以得到 $A$ 和 $B$ 中至少有一个集合中存在三个数成等比数列.

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