每日一题[2029]平方数

在 $(2019\times 2020)^{2021}$ 的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为_______．

答案    $32$．

解析    考虑到 $2019=3\cdot 673$，$2020=2^2\cdot 5\cdot 101$，于是 $$(2019\times 2020)^{2021}=2^{4042}\cdot 3^{2021}\cdot 5^{2021}\cdot 101^{2021}\cdot 673^{2021}.$$ 我们定义从 $(2019\times 2020)^{2021}$ 的全体正因数组成的集合 $G$ 中选出若干个组成集合 $K$ 为好的，当且仅当其中任意两个的乘积都不是平方数．容易证明，若 $K$ 是好的，且 $k\in K$，而 $$k=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n},$$ 其中 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ 为质数，$k_1,k_2,\cdots,k_n\in\mathbb N^{\ast}$，那么将其替换为 $$k'=p_1^{k_1'}p_2^{k_2'}\cdots p_n^{k_n'},$$ 其中 $$k_i'=\begin{cases} 0,&2\mid k_i,\\ 1,&2\nmid k_i,\end{cases}$$ $i=1,2,\cdots$，则 $K$ 仍然是好的．因此任何好集合 $K$ 中的元素都可以简化后对应于 $\{2,3,5,101,673\}$ 的某个子集，如 $$2^3\cdot 3^4\cdot 5^7\to 2\cdot 5\to \{2,5\},$$ 于是 $K$ 中的元素最多有 $2^5=32$ 个，且 $\{2,3,5,101,673\}$ 的所有子集对应的 $32$ 个数组成的集合是好的，因此最多可选因数个数为 $32$．