每日一题[2025]解三角形

在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AC=1$，$AB=c$，$\triangle ABC$ 的外接圆半径长 $R\leqslant 1$，求证： $$\cos A<c\leqslant \cos A+\sqrt 3\sin A.$$

解析    根据射影定理，有 $$c=AC\cdot \cos A+BC\cdot \cos B>\cos A,$$ 接下来证明 $$BC\cdot \cos B\leqslant \sqrt 3\sin A\iff \dfrac{BC}{\sin A}\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{\cos B}\iff 2R\leqslant \dfrac{\sqrt 3}{\cos B},$$ 而 $$\sin B=\dfrac{AC}{2R}\geqslant \dfrac 12,$$ 从而 $\cos B\leqslant \dfrac{\sqrt 3}2$，命题成立． 综上所述，原命题得证．