设函数 f(x)=x3+bx+c,曲线 y=f(x) 在点 (12,f(12)) 处的切线与 y 轴垂直.
1、求 b.
2、若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:f(x) 所有零点的绝对值都不大于 1.
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=3x2+b,于是 f′(12)=34+b,根据题意,有 f′(12)=0,解得 b=−34.
2、方程 f(x)=0 即x3−34x+c=0⟺4x3−3x=−4c.联想余弦的三倍角公式,设函数 f(x) 的绝对值不大于 1 的零点为 x=cosθ,则4cos3θ−3cosθ=−4c⟺−4c=cos3θ,因此 f(x) 的零点 x=x0 满足−1⩽4x30−3x0⩽1⟺{4x30−3x0−1⩽0,4x30−3x0+1⩾0,因式分解可得{(2x0+1)2(x0−1)⩽0,(2x0−1)2(x0+1)⩾0,⟺−1⩽x0⩽1,这就证明了 f(x) 所有零点的绝对值都不大于 1.