每日一题[2016]反打

设函数 $f(x)=x^3+bx+c$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(\dfrac 12,f\left(\dfrac 12\right)\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．

1、求 $b$．

2、若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 $1$ 的零点，证明：$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 $1$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3x^2+b,$$ 于是 $f'\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 34+b$，根据题意，有 $f'\left(\dfrac 12\right)=0$，解得 $b=-\dfrac 34$．

2、方程 $f(x)=0$ 即

$$x^3-\dfrac 34x+c=0\iff 4x^3-3x=-4c.$$ 联想余弦的三倍角公式，设函数 $f(x)$ 的绝对值不大于 $1$ 的零点为 $x=\cos\theta$，则 $$4\cos^3\theta-3\cos\theta=-4c\iff -4c=\cos3\theta,$$ 因此 $f(x)$ 的零点 $x=x_0$ 满足 $$-1\leqslant 4x_0^3-3x_0\leqslant 1\iff \begin{cases} 4x_0^3-3x_0-1\leqslant 0,\\ 4x_0^3-3x_0+1\geqslant 0,\end{cases}$$ 因式分解可得 $$\begin{cases} (2x_0+1)^2(x_0-1)\leqslant 0,\\ (2x_0-1)^2(x_0+1)\geqslant 0,\end{cases}\iff -1\leqslant x_0\leqslant 1,$$ 这就证明了 $f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 $1$．