每日一题[2016]反打

设函数 f(x)=x3+bx+c,曲线 y=f(x) 在点 (12,f(12)) 处的切线与 y 轴垂直.

1、求 b

2、若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:f(x) 所有零点的绝对值都不大于 1

解析

1、函数 f(x) 的导函数f(x)=3x2+b,于是 f(12)=34+b,根据题意,有 f(12)=0,解得 b=34

2、方程 f(x)=0x334x+c=04x33x=4c.联想余弦的三倍角公式,设函数 f(x) 的绝对值不大于 1 的零点为 x=cosθ,则4cos3θ3cosθ=4c4c=cos3θ,因此 f(x) 的零点 x=x0 满足14x303x01{4x303x010,4x303x0+10,因式分解可得{(2x0+1)2(x01)0,(2x01)2(x0+1)0,1x01,这就证明了 f(x) 所有零点的绝对值都不大于 1

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