每日一题[2014]对勾三角函数

关于函数 $f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：

① $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称．

② $f(x)$ 的图象关于原点对称．

③ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称．

④ $f(x)$ 的最小值为 $2$．

其中所有真命题的序号是_______．

答案    ②③．

解析   

命题 ①②     函数 $f(x)$ 是奇函数，图象关于 $(0,0)$ 对称，命题 ① 错误，命题 ② 正确；

命题 ③     注意到

$$f(\pi-x)=\sin(\pi-x)+\dfrac{1}{\sin(\pi -x)}=\sin x+\dfrac1{\sin x}=f(x),$$ 因此命题 ③ 正确；

命题 ④     当 $x=-\dfrac{\pi}2$ 时，$f(x)=-2$，因此命题 ④ 错误．