每日一题[1999]轮换式计算

已知 $a,b,c$ 为正数，满足如下两个条件：

$$\begin{cases} a+b+c=32, \\ \dfrac{b+c-a}{bc}+\dfrac{c+a-b}{ca}+\dfrac{a+b-c}{ab}=\dfrac{1}{4}.\end{cases}$$ 证明：以 $\sqrt a, \sqrt b, \sqrt c$ 为三边长可构成一个直角三角形．

解析    将第一个式子代入第二个式子可得

$$\dfrac{32-2a}{bc}+\dfrac{32-2b}{ca}+\dfrac{32-2c}{ab}=\dfrac{1}{4},$$ 变形，得 $$1024-2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=\dfrac{1}{4}abc,$$ 又 $$(a+b+c)^{2}=1024\iff a^{2}+b^{2}+c^{2}=1024-2(ab+bc+ca),$$ 代入得 $$1024-2[1024-2(ab+bc+ca)]=\dfrac{1}{4}abc,$$ 即 $$abc=16(ab+bc+ca)-4096,$$ 即 $$\begin{split} (a-16)(b-16)(c-16)&=abc-16(ab+bc+ca)+256(a+b+c)-16^{3}\\ &=-4096+256\times32-16^{3}\\ &=0,\end{split}$$ 所以 $a=16$ 或 $b=16$ 或 $c=16$．结合 $a+b+c=32$，可得 $b+a=c$ 或 $c+a=b$ 或 $c+b=a$． 因此，以 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 为三边长可构成一个直角三角形．