每日一题[1995]消元求最值

若正数 $a,b$ 满足 $a b=1$，求 $M=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+2 b}$ 的最小值．

答案    $2\sqrt 2-2$．

解析    因为 $a b=1$，所以 $b=\dfrac{1}{a}$，所以 $$\begin{split} M&=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+2 b}\\ &=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{a}}\\ &=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{a}{2+a}\\ &=1+\dfrac{1}{1+a}-\dfrac{2}{2+a}\\ &=1-\dfrac{a}{a^{2}+3 a+2},\end{split}$$ 设 $N=\dfrac{a^{2}+3 a+2}{a}$，则 $$N=a+\dfrac{2}{a}+3=\left(\sqrt{a}-\sqrt{\dfrac{2}{a}}\right)^{2}+3+2 \sqrt{2} \geqslant 3+2 \sqrt{2},$$ 当 $a=\sqrt{2}$ 时取得等号，所以 $$0<\dfrac{1}{N} \leqslant \dfrac{1}{3+2 \sqrt{2}}=3-2 \sqrt{2},$$ 而 $$M=1-\dfrac{1}{N} \geqslant 1-(3-2 \sqrt{2})=2 \sqrt{2}-2.$$ 因此当 $a=\sqrt{2}$，$b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$M=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+2 b}$ 取得最小值 $2 \sqrt{2}-2$．