在四边形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$CA$ 平分 $\angle BCD$，$O$ 为对角线的交点，$CD=AO$，$BC=OD$，则 $\angle ABC=$ _______．
答案 $126^\circ$．
解析 设 $\angle OCD=\alpha$，$\angle ADO=\beta$，因为 $CA$ 平分 $\angle BCD$，所以 $\angle OCD=\angle OCB=\alpha$，因为 $BC \parallel AD$ 所以 $\angle ADO=\angle OBC=\beta$，所以 $\angle DAO=\angle OCB=\alpha$，所以 $\angle OCD=\angle DAO=\alpha$，所以 $AD=CD$，因为 $CD=AO$，所以 $AD=AO$，所以\[\angle ADO=\angle AOD=\angle BOC=\angle OBC=\beta,\]所以 $OC=BC$，因为 $BC=OD$，所以 $OC=OD$， 所以 $\angle ODC=\angle OCD=\alpha$，因为\[\begin{cases} \angle BOC=\angle ODC+\angle OCD,\\ \angle BOC+\angle OBC+\angle OCB=180^\circ,\end{cases}\implies \begin{cases} \beta =2 \alpha,\\ \alpha+2\beta=180^\circ,\end{cases}\implies \begin{cases} \alpha=36^\circ,\\ \beta=72^\circ,\end{cases}\]所以 $\angle DBC=\angle BCD=72^\circ$，所以 $BD=CD=AD$，所以\[\angle ABD=\angle BAD=\dfrac{180^\circ-\beta}{2}=54^\circ,\]故\[\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC =126^\circ.\]
备注 $2016$年全国初中数学联赛的第$14$题，原题是$2014$年荷兰奥赛题．