每日一题[1990]拼拼看

在四边形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$CA$ 平分 $\angle BCD$，$O$ 为对角线的交点，$CD=AO$，$BC=OD$，则 $\angle ABC=$ _______．

答案    $126^\circ$．

解析    设 $\angle OCD=\alpha$，$\angle ADO=\beta$，因为 $CA$ 平分 $\angle BCD$，所以 $\angle OCD=\angle OCB=\alpha$，因为 $BC \parallel AD$ 所以 $\angle ADO=\angle OBC=\beta$，所以 $\angle DAO=\angle OCB=\alpha$，所以 $\angle OCD=\angle DAO=\alpha$，所以 $AD=CD$，因为 $CD=AO$，所以 $AD=AO$，所以

$$\angle ADO=\angle AOD=\angle BOC=\angle OBC=\beta,$$ 所以 $OC=BC$，因为 $BC=OD$，所以 $OC=OD$， 所以 $\angle ODC=\angle OCD=\alpha$，因为 $$\begin{cases} \angle BOC=\angle ODC+\angle OCD,\\ \angle BOC+\angle OBC+\angle OCB=180^\circ,\end{cases}\implies \begin{cases} \beta =2 \alpha,\\ \alpha+2\beta=180^\circ,\end{cases}\implies \begin{cases} \alpha=36^\circ,\\ \beta=72^\circ,\end{cases}$$ 所以 $\angle DBC=\angle BCD=72^\circ$，所以 $BD=CD=AD$，所以 $$\angle ABD=\angle BAD=\dfrac{180^\circ-\beta}{2}=54^\circ,$$ 故 $$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC =126^\circ.$$

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备注    $2016$年全国初中数学联赛的第$14$题，原题是$2014$年荷兰奥赛题．