每日一题[133] 处理条件极值的两种策略

首先发一个高能预警，本题为2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题：

已知正数\(a,b,c\)满足\(2a+4b+7c\leqslant 2abc\)，求\(a+b+c\)的最小值．

正确答案是\(\dfrac{15}{2}\)．

法一    待定参数法

将\(a+b+c\)改写为\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{z}\geqslant (x+y+z)\left(\dfrac ax\right)^{\frac{x}{x+y+z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac {y}{x+y+z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac {z}{x+y+z}},\]等号当且仅当\(\dfrac ax=\dfrac by=\dfrac cz\)时取得．

此时条件变为\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\leqslant 2xyz\cdot\dfrac ax\cdot\dfrac by\cdot\dfrac cz,\]而不等式左边满足\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\geqslant (2x+4y+7z)\left(\dfrac ax\right)^{\frac {2x}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac {4y}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac {7z}{2x+4y+7z}},\]于是有\[\left(\dfrac ax\right)^{\frac{4y+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac{2x+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac{2x+4y}{2x+4y+7z}}\geqslant \dfrac {2x+4y+7z }{2xyz},\]等号当且仅当\(\dfrac ax=\dfrac by=\dfrac cz\)时取得．

为了将以上两个不等式对接，需要\[\dfrac{x}{4y+7z}=\dfrac{y}{2x+7z}=\dfrac{z}{2x+4y},\]于是解方程组\[\begin{cases}4y+7z=\lambda x,\\2x+7z=\lambda y,\\2x+4y=\lambda z,\end{cases}\]可解得\[\lambda=8,\]于是可得\[x=6,y=5,z=4,\]进而\[a=3,b=\dfrac 52,c=2\]时\(a+b+c\)取得最小值为\(\dfrac {15}2\)．

法二   累次求极值

根据已知条件有\[c\geqslant\dfrac{2a+4b}{2ab-7},\]从而\[a+b+c\geqslant a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7},\]等号当且仅当\(c=\dfrac{2a+4b}{2ab-7}\)时取得．

再考虑\(b\)，视\(a\)为参数，有\[\begin{split}a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7}&=a+b+\dfrac 2a+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&=a+\dfrac{11}{2a}+\dfrac{2ab-7}{2a}+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&\geqslant a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},\end{split}\]等号当且仅当\[\dfrac{2ab-7}{2a}=\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\]时取得．

令\[f(a)=a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},a>0,\]则\[f'(a)=1-\dfrac{11}{2a^2}-\dfrac{14}{a^2\sqrt{a^2+7}},\]从而\(f(a)\)在\(a=3\)时取得最小值\(f(3)=\dfrac{15}{2}\)．

综上，当\(a=3\)，\(b=\dfrac 52\)，\(c=2\)时，\(a+b+c\)取得最小值\(\dfrac{15}2\)．