每日一题[1950]三角与解析

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $a=5\sqrt 2\sin\left(B+\dfrac{\pi}4\right)$，$c=5$，且 $\triangle ABC$ 的外心、重心分别为 $O,G$，则 $OG$ 的最小值为（       ）

A．$\sqrt 2-1$

B．$\dfrac{5\sqrt 2-5}6$

C．$\sqrt 2+1$

D．$\dfrac{10-5\sqrt 2}6$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$a=5\sqrt 2\sin\left(B+\dfrac{\pi}4\right)\iff a=c(\sin B+\cos B),$$ 应用正弦定理可得 $$\sin(B+C)=\sin C\sin B+\sin C\cos B\iff \cos C=\sin C,$$ 于是 $C=\dfrac{\pi}4$．因此 $\angle AOB=2\angle ACB=\dfrac{\pi}2$． 建立平面直角坐标系 $O-AB$，且记 $OA=r$，则 $A(r,0)$，$B(0,r)$，$C(r\cos\theta,r\sin\theta)$，且 $\theta\notin \left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，此时 $$OG=r\sqrt{\left(\dfrac{1+\cos\theta}3\right)^2+\left(\dfrac{1+\sin\theta}3\right)^2}=\dfrac r3\sqrt{3+2\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right)}\geqslant \dfrac r3\left(\sqrt 2-1\right),$$ 等号当 $\theta=-\dfrac{3\pi}4$ 时可以取得，因此所求最小值为 $\dfrac r3\left(\sqrt 2-1\right)$，在本题中 $r=\dfrac{5}{\sqrt 2}$，因此最小值为 $\dfrac{10-5\sqrt 2}6$．