每日一题[1945]适当配对

已知正实数 $x,y,z>0$，则 $A=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2x\right\}$ 的最小值为[[nn]]；$B=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2z\right\}+\max\left\{z,\dfrac 3x\right\}$ 的最小值为_______．

答案    $2\sqrt 2$；$2\sqrt 5$．

解析    考虑到 $$A=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2x\right\}\geqslant x+\dfrac 2x\geqslant 2\sqrt 2,$$ 等号当 $x=y=\sqrt 2$ 时可以取得，因此所求最小值为 $2\sqrt 2$． 又 $$\begin{split} B&=\max\left\{x,\dfrac 1y\right\}+\max\left\{y,\dfrac 2z\right\}+\max\left\{z,\dfrac 3x\right\}\\ &\geqslant x+\dfrac 2z+\max \left\{z,\dfrac 3x\right\}\\ &\geqslant x+\dfrac 2z+\lambda z+(1-\lambda)\cdot \dfrac 3x\\ &\geqslant 2\sqrt{3(1-\lambda)}+2\sqrt{2\lambda},\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} \dfrac 1x\leqslant y\leqslant \dfrac 2z,\\ z=\dfrac 3x,\\ x=\sqrt{3(1-\lambda)},\\ z=\sqrt{\dfrac 2{\lambda}},\end{cases}\iff \begin{cases} \dfrac {\sqrt 5}3\leqslant y\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 5},\\ \lambda=\dfrac 23,\\ x=\dfrac{3}{\sqrt 5},\\ z=\sqrt 5,\end{cases}$$ 时取得，因此所求最小值为 $2\sqrt 5$．