每日一题[1943]简版飞行棋

一种掷硬币走跳棋的游戏:在棋盘上标有第 1 站、第 2 站、第 3 站、、第 100 站,共 100 站,设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn,一枚棋子开始在第 1 站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币的正面朝上,棋子向前跳一站,若硬币的反面朝上,棋子向前跳两站,知道棋子跳到第 99 站(失败)或第 100 站(获胜)时,游戏结束.

1、求 P1,P2,P3

2、求证:数列 {Pn+1Pn}n=1,2,98)是等比数列.

3、求玩该游戏获胜的概率.

解析

1、根据题意,P1=1P2=12,且棋子到达第 n+2n97)站有两种可能:从第 n+1 站通过掷出正面到达,以及从第 n 站通过掷出反面到达,因此Pn+2=Pn+112+Pn12,于是 P3=34

2、根据第 (1) 小题的结果,当 n97 时,有Pn+2Pn+1=12(Pn+1Pn),因此数列 {Pn+1Pn}n=1,2,98)是公比为 12 的等比数列.

3、根据第 (2) 小题的结果,当 n98 时,有Pn+1Pn=(12)n1(P2P1)=(12)n,于是当 n99 时,有Pn=n1k=1(12)k+P1=23(1(12)n),因此 P99=23(1+1299),从而 P100=1P99=13(11298)

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1943]简版飞行棋》有2条回应

  1. Math_fish说:

    我觉得把题目里”跳到第几站的概率”改成“能跳到第几站的概率”比较好

发表回复