一种掷硬币走跳棋的游戏:在棋盘上标有第 1 站、第 2 站、第 3 站、⋯、第 100 站,共 100 站,设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn,一枚棋子开始在第 1 站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币的正面朝上,棋子向前跳一站,若硬币的反面朝上,棋子向前跳两站,知道棋子跳到第 99 站(失败)或第 100 站(获胜)时,游戏结束.
1、求 P1,P2,P3.
2、求证:数列 {Pn+1−Pn}(n=1,2⋯,98)是等比数列.
3、求玩该游戏获胜的概率.
解析
1、根据题意,P1=1,P2=12,且棋子到达第 n+2(n⩽97)站有两种可能:从第 n+1 站通过掷出正面到达,以及从第 n 站通过掷出反面到达,因此Pn+2=Pn+1⋅12+Pn⋅12,于是 P3=34.
2、根据第 (1) 小题的结果,当 n⩽97 时,有Pn+2−Pn+1=−12(Pn+1−Pn),因此数列 {Pn+1−Pn}(n=1,2⋯,98)是公比为 −12 的等比数列.
3、根据第 (2) 小题的结果,当 n⩽98 时,有Pn+1−Pn=(−12)n−1(P2−P1)=(−12)n,于是当 n⩽99 时,有Pn=n−1∑k=1(−12)k+P1=23(1−(−12)n),因此 P99=23(1+1299),从而 P100=1−P99=13(1−1298).
我觉得把题目里”跳到第几站的概率”改成“能跳到第几站的概率”比较好
2020.05.13