每日一题[1943]简版飞行棋

一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第 $1$ 站、第 $2$ 站、第 $3$ 站、$\cdots$、第 $100$ 站，共 $100$ 站，设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $P_n$，一枚棋子开始在第 $1$ 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面朝上，棋子向前跳一站，若硬币的反面朝上，棋子向前跳两站，知道棋子跳到第 $99$ 站（失败）或第 $100$ 站（获胜）时，游戏结束．

1、求 $P_1,P_2,P_3$．

2、求证：数列 $\{P_{n+1}-P_n\}$（$n=1,2\cdots,98$）是等比数列．

3、求玩该游戏获胜的概率．

解析

1、根据题意，$P_1=1$，$P_2=\dfrac 12$，且棋子到达第 $n+2$（$n\leqslant 97$）站有两种可能：从第 $n+1$ 站通过掷出正面到达，以及从第 $n$ 站通过掷出反面到达，因此\[P_{n+2}=P_{n+1}\cdot \dfrac 12+P_n\cdot \dfrac12,\]于是 $P_3=\dfrac 34$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，当 $n\leqslant 97$ 时，有\[P_{n+2}-P_{n+1}=-\dfrac 12\left(P_{n+1}-P_n\right),\]因此数列 $\{P_{n+1}-P_n\}$（$n=1,2\cdots,98$）是公比为 $-\dfrac12$ 的等比数列．

3、根据第 $(2)$ 小题的结果，当 $n\leqslant 98$ 时，有\[P_{n+1}-P_n=\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\left(P_2-P_1\right)=\left(-\dfrac 12\right)^n,\]于是当 $n\leqslant 99$ 时，有\[P_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\dfrac 12\right)^k+P_1=\dfrac 23\left(1-\left(-\dfrac 12\right)^n\right),\]因此 $P_{99}=\dfrac 23\left(1+\dfrac{1}{2^{99}}\right)$，从而 $P_{100}=1-P_{99}=\dfrac 13\left(1-\dfrac{1}{2^{98}}\right)$．