每日一题[1941]变换主元

已知二次函数 $f(x)=ax^2+x+c$（$a,c\in\mathbb R$，$a\ne0$）在区间 $[1,2]$ 上有零点，则 $4a^2+c^2$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac 45$.

解析    问题即 $m^2a+c=-m$，其中 $m\in [1,2]$，求 $4a^2+c^2$ 的最小值．根据柯西不等式，有 $$4a^2+c^2\geqslant \dfrac{(m^2a+c)^2}{\dfrac 14m^4+1}=\dfrac{m^2}{\dfrac 14m^4+1}=\dfrac{1}{\dfrac{m^2}4+\dfrac 1{m^2}},$$ 因此 $4a^2+c^2$ 的最小值为 $\dfrac 45$，等号 $a=-\dfrac 15$，$c=-\dfrac 45$，$m=1$ 时可以取得，因此所求最小值为 $\dfrac45$．