每日一题[1933]看作整体

设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 为单位向量，向量 $\overrightarrow c$ 满足 $\left|2\overrightarrow c+\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|$，则 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow b\right|$ 的最大值为（       ）

A．$2$

B．$1$

C．$\sqrt 3$

D．$\sqrt 2$

答案    A．

解析    设 $\overrightarrow c-\overrightarrow b=\overrightarrow x$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=t$，则

$$\left|2\overrightarrow x+\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|\implies |t|=\left|2\overrightarrow x+\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|\geqslant \left|2\overrightarrow x\right|-\left|\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|,$$ 即 $$\left|\overrightarrow x\right|\leqslant \dfrac{|t|+\left|\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|}{2}=\dfrac{|t|+\sqrt{5+4t}}{2}\leqslant 2,$$ 等号当 $t=1$ 时取得（如 $\overrightarrow a=\overrightarrow b=(1,0)$，$\overrightarrow c=(-1,0)$，因此所求最大值为 $2$．