每日一题[1923]纸老虎

已知函数 f(x)=lnx+a(1x1)aR. 若 f(x)0

1、求实数 a 的取值范围.

2、求证:ex+1x2lnx+x2+(e2)x

解析

1、考虑到 x>0,f(x)0 等价于x>0,lnx+a(x1)0,设左侧函数为 r(x),则 r(1)=0,其导函数r(x)=ax1x,于是 r(1)=a1. 若 a0,则 r(2)<0,不符合题意; 若 0<a<1,则 r(x)(1,1a) 上单调递减,结合 r(1)=0,不符合题意; 若 a>1,则 r(x)(1a,1) 上单调递增,结合 r(1)=0,不符合题意; 若 a=1,则 r(x)x=1 处取得极小值,也为最小值 r(1)=0,符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {1}

2、令 g(x)=ex+1x+lnxx2(e2)x2,则g(x)=ex1x2+1x2xe+2,注意到 g(1)=0,而g(x)=ex+2x31x22>(1+x)+2x31x22=x4x3x+2x3=(x1)2(x2+x+1)+1x3>0, 因此 g(x)(0,+) 上单调递增,因此 g(x)x=1 处取得极小值,也为最小值 g(1)=0,命题得证.

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