已知函数 f(x)=lnx+a(1x−1),a∈R. 若 f(x)⩾0,
1、求实数 a 的取值范围.
2、求证:ex+1x⩾2−lnx+x2+(e−2)x.
解析
1、考虑到 ∀x>0,f(x)⩾0 等价于∀x>0,−lnx+a(x−1)⩾0,设左侧函数为 r(x),则 r(1)=0,其导函数r′(x)=ax−1x,于是 r′(1)=a−1. 若 a⩽0,则 r(2)<0,不符合题意; 若 0<a<1,则 r(x) 在 (1,1a) 上单调递减,结合 r(1)=0,不符合题意; 若 a>1,则 r(x) 在 (1a,1) 上单调递增,结合 r(1)=0,不符合题意; 若 a=1,则 r(x) 在 x=1 处取得极小值,也为最小值 r(1)=0,符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {1}.
2、令 g(x)=ex+1x+lnx−x2−(e−2)x−2,则g′(x)=ex−1x2+1x−2x−e+2,注意到 g′(1)=0,而g″(x)=ex+2x3−1x2−2>(1+x)+2x3−1x2−2=x4−x3−x+2x3=(x−1)2(x2+x+1)+1x3>0, 因此 g′(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,因此 g(x) 在 x=1 处取得极小值,也为最小值 g(1)=0,命题得证.