每日一题[1920]零点知多少

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的以 $3$ 为周期的奇函数，且 $f(2)=0$，则 $f(x)=0$ 在区间 $(0,6)$ 上的实数解的个数的最小值是（       ）

A．$3$

B．$5$

C．$7$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    首先证明 $x=k$（$k\in\mathbb Z$）为函数 $f(x)$ 的零点，考虑到 $f(x)$ 的周期为 $3$，因此只需要证明 $f(0)=f(1)=f(2)=0$，事实上，根据函数 $f(x)$ 是奇函数以及题设，只需要证明 $f(1)=0$，而

$$f(1)=f(-1)=f(2)=0.$$ 接下来证明 $x=\dfrac {6n-3}2$（$n\in\mathbb Z$ 为函数的零点，根据函数 $f(x)$ 的奇偶性和周期性，有 $$\begin{cases} f\left(\dfrac 32\right)=-f\left(-\dfrac 32\right),\\ f\left(\dfrac 32\right)=-f\left(-\dfrac 32\right),\end{cases}\implies f\left(\dfrac 32\right)=f\left(-\dfrac 32\right)=0,$$ 结合函数 $f(x)$ 的周期性，可得 $x=\dfrac {6n-3}2$（$n\in\mathbb Z$）为函数的零点． 综上所述，函数 $f(x)$ 在 $(0,6)$ 上的零点不少于 $7$ 个（至少有 $1,2,3,4,5,\dfrac 32,\dfrac 92$），下面给出 $7$ 个零点的例子．