每日一题[1894]联立计算

设过点 $P(-2,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 交于不同的两点 $A,B$，$F$ 为椭圆的右焦点，且直线 $AF,BF$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，且 $\lambda =\dfrac{AF}{FC}$，$\mu=\dfrac{BF}{FD}$，求 $\lambda+\mu$ 的取值范围．

答案    $(6,10)$．

解析    联立直线 $x=my+a$ 与椭圆方程，有 $$(m^2+2)y^2+2may+a^2-2=0,$$ 设 $A,B,C,D$ 的坐标分别为 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_2,y_2)$，$D(x_2,y_2)$，那么取 $a=1$，$m=\dfrac{x_1-1}{y_1}$，即联立直线 $AC$ 与椭圆 $E$，可得 $$(m^2+2)y^2+2my-1=0,$$ 于是 $$\lambda=-\dfrac{y_1}{y_3}=-\dfrac{y_1^2}{y_1y_3}=y_1^2\cdot\left(\left(\dfrac{x_1-1}{y_1}\right)^2+2\right)=x_1^2-2x_1+1+2y_1^2=3-2x_1,$$ 类似的，有 $\mu=3-2x_2$，从而取 $m$ 为直线 $l$ 的倒斜率 $m_0$，$a=-2$，可得 $$\lambda+\mu=6-2(m_0(y_1+y_2)-4)=14-2m_0\cdot \dfrac{4m_0}{m_0^2+2}=6+\dfrac{16}{m_0^2+2},$$ 根据等效判别式，有 $$2+m_0^2-4>0\iff m_0^2>2,$$ 因此 $\lambda+\mu$ 的取值范围是 $(6,10)$．