每日一题[1891]伸缩变换

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个顶点 $A(a,0)$，$B(0,b)$，过 $A,B$ 分别作 $AB$ 的垂线交椭圆 $T$ 于 $D,C$（不同于顶点），若 $BC=3AD$，则椭圆的离心率是_______．

答案    $\dfrac{2\sqrt 2}3$．

解析    利用伸缩变换 $x'=x$，$y'=\dfrac aby$，则椭圆变为圆 $x'^2+y'^2=a^2$，此时 $B'C'\parallel A'D'$ 且 $B'C'=3A'D'$，设直线 $B'C'$ 的斜率为 $k$，那么

$$\begin{cases} B'C':kx-y+a=0,\\ A'D':kx-y-ka=0,\end{cases}\implies \sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{k^2+1}}=3\sqrt{a^2-\dfrac{k^2a^2}{k^2+1}}\iff k^2=9,$$ 回到椭圆中，可得 $$\left(k\cdot \dfrac ba\right)\cdot \left(-\dfrac ba\right)=-1\iff \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{1}{k^2}=\dfrac 19,$$ 因此所求离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{2\sqrt 2}3$．