每日一题[1890]阿波罗尼斯圆

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $O:x^2+y^2=r^2$（$r>0$）与直线 $l:x+y-5=0$．若对圆 $O$ 上任意一点 $P$，在直线 $l$ 上均存在两点 $E,F$，使得 $PE=\sqrt 2PF$，且 $EF=8$，则 $r$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(0,\dfrac{11\sqrt 2}2\right]$．

解析    根据阿波罗尼斯圆的定义，当 $E,F$ 确定时，$P$ 点的轨迹是一个圆，设这个圆的圆心为 $M$，半径为 $r$，则 $$\begin{cases} \dfrac{ME}{r}=\dfrac{r}{MF}=\sqrt 2,\\ ME-MF=8,\end{cases}\implies r=8\sqrt 2,$$ 因此当 $E$ 点在直线 $l$ 上移动时，$P$ 的轨迹是以为 $l$ 为中位线，宽度为 $16\sqrt 2$ 的带状区域．根据题意，圆 $O$ 在带状区域（包括边界），而点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\dfrac{5\sqrt 2}2$，因此 $0<r\leqslant \dfrac{11\sqrt 2}2$．