每日一题[1889]匹克公式

三边长均为正整数，且最大边长为 $11$ 的三角形的个数为（       ）

A．$25$

B．$26$

C．$36$

D．$37$

答案    C．

解法一

先考虑区域 $\begin{cases} 1\leqslant x\leqslant 11,\\ 1\leqslant y\leqslant 11, \\ x+y\geqslant 12\end{cases}$ 的整点个数，考虑到当 $x$ 取 $k$ 时，$y$ 可以从 $12-k$ 取到 $11$，共 $k$ 个数，因此所求整点个数为 $\displaystyle\sum_{k=1}^{11}k=66$．但考虑到 $(m,n)$ 和 $(n,m)$（$m\ne n$）对应的是相同的三角形，而形如 $(m,m)$ 的解有 $(6,6),(7,7),\cdots,(11,11)$ 共 $6$ 个，因此所求三角形个数为

$$\dfrac{66-6}2+6=36.$$

解法二

即区域 $\begin{cases} 1\leqslant x\leqslant 11,\\ x\leqslant y\geqslant 12, \\ x+y\geqslant 11\end{cases}$ 的整点个数，即格点三角形 $ABCD$ 内以及边界上的格点数，其中 $A(1,11)$，$B(6,6)$，$C(11,11)$，$AB,BC,CA$ 内部格点分别为 $4,4,9$，$\triangle ABC$ 的面积为 $25$，因此根据皮克公式，所求三角形个数为

$$25+\dfrac{4+4+9+3}2+1=36.$$