每日一题[1888]阿波罗尼斯圆

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(4,0)$，点 $B(0,3)$，$P$ 为圆 $x^2+y^2=4$ 上一动点，则 $3AP+2BP$ 的最小值是_______．

答案    $4\sqrt{10}$．

解析    考虑到 $3AP+2BP=3\left(AP+\dfrac 23BP\right)$，根据阿波罗尼斯圆的定义，设 $C(0,m)$，圆 $x^2+y^2=4$ 是到点 $B$ 和到点 $C$ 的比为 $\dfrac 32$ 的点的轨迹，则 $\dfrac 23PB=PC$．

此时

$$\dfrac{OB}{2}=\dfrac{2}{OC}=\dfrac 32\implies OC=\dfrac43,$$ 因此 $$3\left(AP+\dfrac 23BP\right)=3\left(PA+PC\right)\geqslant 3AC=3\cdot \dfrac{4\sqrt{10}}3=4\sqrt{10},$$ 等号当 $A,P,C$ 依次共线时取得，因此所求最小值为 $4\sqrt{10}$．