每日一题[1884]双切线方程

已知抛物线 E:x2=2py0<p<2)的焦点为 F,圆 C:x2+(y1)2=1.点 P(x0,y0) 为抛物线上一动点.当 |PF|=5p2 时,PCF 的面积为 12

1、求抛物线 E 的方程.

2、若 y0>12,过点 P 作圆 C 的两条切线分别交 y 轴于 M,N 两点.求 PMN 的面积的最小值.

解析

1、根据抛物线的定义,有 y0=5p2p2=2p,于是 P(2p,2p),此时 PCF 的面积12|1p2|2p=12p=1,

因此抛物线 E 的方程为 x2=2y

2、根据二次曲线的双切线方程,有 PMPN 的方程为(x20+(y01)21)(x2+(y1)21)=(x0x+(y01)(y1))2,

M(0,y1)N(0,y2),则 y1,y2 是关于 y 的方程(x20+(y01)21)((y1)21)=((y01)(y1))2,
(2y01)(y1)2y20=0,
的两个实根,因此 PMN 的面积S=122y202y012y0=22y201y30=4tt(42t)4(43)3=334,
其中 t=1y0,等号当 t=43 时取得,因此所求面积的最小值为 334

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每日一题[1884]双切线方程》有2条回应

  1. wuki说:

    你好:双切线方程好像有误, 右边括号内少一个1, 最后结果应该是最小值为 2.

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