已知抛物线 E:x2=2py(0<p<2)的焦点为 F,圆 C:x2+(y−1)2=1.点 P(x0,y0) 为抛物线上一动点.当 |PF|=5p2 时,△PCF 的面积为 12.
1、求抛物线 E 的方程.
2、若 y0>12,过点 P 作圆 C 的两条切线分别交 y 轴于 M,N 两点.求 △PMN 的面积的最小值.
解析
1、根据抛物线的定义,有 y0=5p2−p2=2p,于是 P(2p,2p),此时 △PCF 的面积12⋅|1−p2|⋅2p=12⟺p=1,
因此抛物线 E 的方程为 x2=2y.
2、根据二次曲线的双切线方程,有 PM∪PN 的方程为(x20+(y0−1)2−1)⋅(x2+(y−1)2−1)=(x0x+(y0−1)(y−1))2,
设 M(0,y1),N(0,y2),则 y1,y2 是关于 y 的方程(x20+(y0−1)2−1)⋅((y−1)2−1)=((y0−1)(y−1))2,
即(2y0−1)(y−1)2−y20=0,
的两个实根,因此 △PMN 的面积S=12⋅2√y202y0−1⋅√2y0=√22y20−1y30=√4t⋅t⋅(4−2t)⩾√4(43)3=3√34,
其中 t=1y0,等号当 t=43 时取得,因此所求面积的最小值为 3√34.
你好:双切线方程好像有误, 右边括号内少一个1, 最后结果应该是最小值为 2.
你是正确的,谢谢!