每日一题[1884]双切线方程

已知抛物线 $E:x^2=2py$（$0<p<2$）的焦点为 $F$，圆 $C:x^2+(y-1)^2=1$．点 $P(x_0,y_0)$ 为抛物线上一动点．当 $|PF|=\dfrac{5p}2$ 时，$\triangle PCF$ 的面积为 $\dfrac 12$．

1、求抛物线 $E$ 的方程．

2、若 $y_0>\dfrac 12$，过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线分别交 $y$ 轴于 $M,N$ 两点．求 $\triangle PMN$ 的面积的最小值．

解析

1、根据抛物线的定义，有 $y_0=\dfrac{5p}2-\dfrac p2=2p$，于是 $P(2p,2p)$，此时 $\triangle PCF$ 的面积\[\dfrac 12\cdot \left|1-\dfrac p2\right|\cdot 2p=\dfrac 12\iff p=1,\]因此抛物线 $E$ 的方程为 $x^2=2y$．

2、根据二次曲线的双切线方程，有 $PM\cup PN$ 的方程为\[\left(x_0^2+(y_0-1)^2-1\right)\cdot \left(x^2+(y-1)^2-1\right)=(x_0x+(y_0-1)(y-1))^2,\]设 $M(0,y_1)$，$N(0,y_2)$，则 $y_1,y_2$ 是关于 $y$ 的方程\[\left(x_0^2+(y_0-1)^2-1\right)\cdot \left((y-1)^2-1\right)=((y_0-1)(y-1))^2,\]即\[(2y_0-1)(y-1)^2-y_0^2=0,\]的两个实根，因此 $\triangle PMN$ 的面积\[S=\dfrac 12\cdot 2\sqrt{\dfrac{y_0^2}{2y_0-1}}\cdot \sqrt{2y_0}=\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{2}{y_0^2}-\dfrac{1}{y_0^3}}}=\sqrt{\dfrac{4}{t\cdot t\cdot (4-2t)}}\geqslant \sqrt{\dfrac{4}{\left(\dfrac 43\right)^3}}=\dfrac{3\sqrt 3}4,\]其中 $t=\dfrac{1}{y_0}$，等号当 $t=\dfrac 43$ 时取得，因此所求面积的最小值为 $\dfrac{3\sqrt 3}4$．