已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=2$，$x_{n+1}=\sqrt{2x_n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$．给出下列两个命题： 命题 $p$：对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $1<x_{n+1}<x_n$； 命题 $q$：存在 $r\in(0,1)$，使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $x_n\leqslant r^{n-1}+1$． 则（ ）
A．$p$ 真，$q$ 真
B．$p$ 真，$q$ 假
C．$p$ 假，$q$ 真
D．$p$ 假，$q$ 假
答案 B．
解析 设迭代函数 $f(x)=\sqrt{2x-1}$，则不动点为 $x=1$，且 $f(x)$ 单调递增，于是由 $1<x_2<x_1$ 可得 $f(1)<f(x_2)<f(x_1)$ 即 $1<x_3<x_2$，依次类推，可得命题 $p$ 成立； 对于命题 $q$，利用不动点改造递推公式，有\[x_{n+1}-1=\sqrt{2x_n-1}-1\iff x_{n+1}-1=\dfrac{2(x_n-1)}{\sqrt{2x_n-1}+1},\]于是\[\dfrac{x_{n+1}-1}{x_n-1}=\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1},\]而 $x_n\in (1,2]$，因此 $\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1}\in \left[\sqrt 3-1,1\right)$，且当 $n\to+\infty$ 时，$\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1}\to 1$．不妨设当 $n\geqslant N$ 时，对给定的 $\varepsilon>0$，有\[\dfrac{2}{\sqrt{2x_n-1}+1}>1-\varepsilon,\]那么可知当 $n= N+m$ 时，有\[x_n-1\geqslant (1-\varepsilon)^m(x_N-1),\]取 $\varepsilon =\dfrac{1-r}2$，则 $1-\varepsilon =\dfrac{1+r}2>r$，因此\[x_n-1=\left(\dfrac{1+r}2\right)^m(x_N-1),\]而根据命题 $q$，有 $x_n-1\leqslant r^{N+m}$，取\[m=\left[{\log_{\frac{1+r}{2r}}}\dfrac{r^N}{x_N-1}\right]+1,\]则有\[\left(\dfrac{1+r}2\right)^m(x_N-1)>r^{N+m},\]矛盾，因此命题 $q$ 错误．