已知数列 {xn} 满足 x1=2，xn+1=√2xn−1（n∈N∗．给出下列两个命题： 命题 p：对任意 n∈N∗，都有 1<xn+1<xn； 命题 q：存在 r∈(0,1)，使得对任意 n∈N∗，都有 xn⩽rn−1+1． 则（ ）
A．p 真，q 真
B．p 真，q 假
C．p 假，q 真
D．p 假，q 假
答案 B．
解析 设迭代函数 f(x)=√2x−1，则不动点为 x=1，且 f(x) 单调递增，于是由 1<x2<x1 可得 f(1)<f(x2)<f(x1) 即 1<x3<x2，依次类推，可得命题 p 成立； 对于命题 q，利用不动点改造递推公式，有xn+1−1=√2xn−1−1⟺xn+1−1=2(xn−1)√2xn−1+1,于是xn+1−1xn−1=2√2xn−1+1,而 xn∈(1,2]，因此 2√2xn−1+1∈[√3−1,1)，且当 n→+∞ 时，2√2xn−1+1→1．不妨设当 n⩾N 时，对给定的 ε>0，有2√2xn−1+1>1−ε,那么可知当 n=N+m 时，有xn−1⩾(1−ε)m(xN−1),取 ε=1−r2，则 1−ε=1+r2>r，因此xn−1=(1+r2)m(xN−1),而根据命题 q，有 xn−1⩽rN+m，取m=[log1+r2rrNxN−1]+1,则有(1+r2)m(xN−1)>rN+m,矛盾，因此命题 q 错误．