每日一题[1876]诱导

已知数列 $a_n=\tan (11n)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、求证：$a_1<a_3<a_5<\cdots<a_{709}$．

2、求证：数列 $\{a_{2k-1}\}$ 不是单调数列．

解析

1、考虑到 $a_{2k-1}=\tan(22k-11)$，进而 $$a_{2k-1}=\tan\left((22-7\pi)(k-1)+11-4\pi\right),$$ 其中 $11-4\pi\in \left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，当 $$k-1\leqslant \left[\dfrac{\dfrac{\pi}2-(11-4\pi)}{22-7\pi}\right]$$ 即 $k\leqslant 355$ 时，$(22-7\pi)(k-1)+11-4\pi\in \left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，考虑到 $\tan x$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上的单调性，因此命题得证．

2、当 $k$ 从 $355$ 继续增大时，必然可以使得 $(22-7\pi)(k-1)+11-4\pi$ 落在 $\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$，此时与 $a_{709}>0$ 矛盾，因此数列 $\{a_{2k-1}\}$ 不是单调数列．