如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 A,B,C,D 四点均位于图中的“晶格点”处，且 A,B 的位置如图所示，则 →AB⋅→CD 的最大值为_______．
答案 24．
解析 如图，考虑所有“晶格点”在 →AB 上的投影．
可知 →AB⋅→CD 的最大值为 AB⋅QP，等号当 C=N，D=M 时取得．设 →a=(90:1)，→b=(210:1)，→c=(−30:1)，则有→a⋅→b=→b⋅→c=→c⋅→a=−12,
且{→AB=−3→a+2→b+→c,→NM=−3→a+3→b+→c,
因此→AB⋅→NM=9→a2+6→b2+→c2−15→a⋅→b+5→b⋅→c−6→c⋅→a=16−(−8)=24.