每日一题[1858]处理内心

在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为内角 $A,B,C$ 所对的边，且 $(a\cos C+c\cos A)\tan A=\sqrt 3b$．

1、求角 $A$ 的大小．

2、若 $a=\sqrt 3$，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，求 $IB+IC$ 的最大值．

解析

1、根据正弦定理，有 $$(\sin A\sin C+\sin C\cos A)\tan A=\sqrt 3\sin B\implies \tan A=\sqrt 3,$$ 于是 $A=\dfrac{\pi}3$．

2、设 $B=\dfrac{\pi}3+x$，$C=\dfrac{\pi}3-x$，$\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $r$，则 $$\begin{cases} \dfrac{r}{\tan \dfrac B2}+\dfrac{r}{\tan \dfrac C2}=\sqrt 3,\\ IA+IB=\dfrac{r}{\sin\dfrac B2}+\dfrac{r}{\sin\dfrac C2},\end{cases}$$ 因此 $$\dfrac{IA+IB}{\sqrt 3}=\dfrac{\dfrac{r}{\sin\dfrac B2}+\dfrac{r}{\sin\dfrac C2}}{\dfrac{r}{\tan \dfrac B2}+\dfrac{r}{\tan \dfrac C2}}=\dfrac{\sin\dfrac B2+\sin\dfrac C2}{\sin\dfrac C2\cos\dfrac B2+\cos\dfrac C2\sin\dfrac B2}=\dfrac{\cos x}{\sin\dfrac{\pi}3}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3},$$ 于是 $IA+IB$ 的最大值为 $2$，等号当 $x=0$ 时取得．