每日一题[1857]抛物线克星之二

已知直线 l:x=my+cc>0)与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,P 点为抛物线的准线与 x 轴的交点,且 PAB 的面积为 4c+4,当 2m+c 取到最大值时,直线 l 的方程为_______.

答案    x=y+3

解析    设 A(4a2,4a)B(4b2,4b),则根据抛物线的平均性质,有 ab=c4.而 P(1,0),因此 PAB 的面积12|(4a2+1)4b4a(4b2+1)|=4c+4|(4ab2)(ab)|=2c+2|ab|=2,

2m+c=2(a+b)+c=2(ab)2+4ab+c=24c+c,
4c=t,则2m+c=2t+4t2,
于是当 t=1,即 c=3m=1 时,2m+c 取得最大值,此时直线 l 的方程为 x=y+3

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