已知直线 l:x=my+c(c>0)与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,P 点为抛物线的准线与 x 轴的交点,且 △PAB 的面积为 4c+4,当 2m+c 取到最大值时,直线 l 的方程为_______.
答案 x=y+3
解析 设 A(4a2,4a),B(4b2,4b),则根据抛物线的平均性质,有 ab=−c4.而 P(−1,0),因此 △PAB 的面积12|(4a2+1)⋅4b−4a⋅(4b2+1)|=4c+4⟺|(4ab−2)(a−b)|=2c+2⟺|a−b|=2,
而2m+c=2(a+b)+c=2√(a−b)2+4ab+c=2√4−c+c,
令 √4−c=t,则2m+c=2t+4−t2,
于是当 t=1,即 c=3,m=1 时,2m+c 取得最大值,此时直线 l 的方程为 x=y+3.