每日一题[1828]扰动区间

已知函数 $f(x)=x\ln x-2ax^2+3x-a$，$a\in\mathbb Z$．

1、当 $a=1$ 时，判断 $x=1$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点，并说明理由．

2、当 $x>0$ 时，不等式 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立，求整数 $a$ 的最小值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=4-4x+\ln x,$$ 且其二阶导函数 $$f''(x)=-4+\dfrac 1x,$$ 因此 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点．

2、根据题意，有 $$\forall x>0,x\ln x-2ax^2+3x-a\leqslant 0\iff \forall x>0,a\geqslant \dfrac{x\ln x+3x}{2x^2+1},$$ 记右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{4-4x^2+\ln x-2x^2\ln x}{(2x^2+1)^2},$$ 容易得到函数 $g(x)$ 有极大值 $g(1)=1$，而 $$g(x)\leqslant \dfrac{x(x-1)+3x}{2x^2+1}=\dfrac{\left(x^2+2x\right)-\left(2x^2+1\right)}{2x^2+1}+1=\dfrac{-(x-1)^2}{2x^2+1}+1\leqslant 1,$$ 等号当且仅当 $x=1$ 时取得，因此函数 $g(x)$ 的最大值为 $1$，整数 $a$ 的最小值为 $1$．