每日一题[1829]极化恒等式

在 $\triangle ABC$ 中,点 $E,F$ 分别是线段 $AB,AC$ 的中点,点 $P$ 在直线 $EF$ 上,若 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$,则 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2$ 的最小值是(        )

A.$2$

B.$3$

C.$3\sqrt 2$

D.$2\sqrt 3$

答案    D.

解析    利用极化恒等式,有\[\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2=|PD|^2+\dfrac 34|BC|^2,\]其中 $D$ 为 $BC$ 的中点.考虑到 $\triangle PBC$ 的高为 $\triangle ABC$ 的高的一半,为 $\dfrac{2}{|BC|}$,有\[|PD|^2+\dfrac 34|BC|^2\geqslant \left(\dfrac{2}{|BC|}\right)^2+\dfrac 34|BC|^2 \geqslant 2\sqrt 3,\]等号当 $PD\perp BC$ 且 $|BC|=\dfrac{2}{\sqrt 3}$ 时取得,因此所求最小值为 $2\sqrt 3$.

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