每日一题[1823]离散的恒成立

设函数 $f(x)=x{\rm e}^x-ax+a$，若存在唯一的整数 $x_0$，使得 $f(x_0)<0$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[\dfrac2{3{\rm e}^2},\dfrac{\rm e}2\right)\cup \left(2{\rm e}^2,\dfrac{3{\rm e}^3}2\right]$．

解析    根据题意，有

$$f(x)=(-x+1)a+x{\rm e}^x,$$ 考虑 $x$ 取不同整数时，对应关于 $a$ 的不等式 $f(x)<0$ 的解集，有 $$\begin{array} {c|c|c}\hline x&f(x)&a\\ \hline -2&3a-2{\rm e}^{-2}&a<\dfrac{2}{3{\rm e}^2}\\ \hline -1&2a-{\rm e}&a<\dfrac{\rm e}2\\ \hline 0&a&a<0\\ \hline 1&{\rm e}^x&\varnothing\\ \hline 2&-a+2{\rm e}^2&a>2{\rm e}^2\\ \hline 3&-2a+3{\rm e}^3&a>\dfrac{3{\rm e}^3}2\\ \hline\end{array}$$

这些关于 $a$ 的分界点在数轴上排列，可得使得 $f(x)<0$ 成立的正整数 $x$ 为 $-1$ 或 $2$，且实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac2{3{\rm e}^2},\dfrac{\rm e}2\right)\cup \left(2{\rm e}^2,\dfrac{3{\rm e}^3}2\right]$．