每日一题[1821]先选后排

在区间 [100,999] 上,调换数位的排列顺序后可被 11 整除(如 121211)的数的个数为_______.

答案    226

解析    对于三位数 ¯abc11¯abc11ab+c,也即 a+c=ba+c=b+11.显然 bc

情形一   a=b.此时 c=0,对应有 9 个数,加上调换顺序的,共 18 个数.

情形二   a=c.此时有 8 个数,加上调换顺序的,共 24 个数.

情形三   a,b,c 两两不等的.此时先考虑 a<c 的,有(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(1,7,8),(1,8,9),(2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(2,6,8),(2,7,9),(2,9,0),(3,4,7),(3,5,8),(3,6,9),(3,8,0),(3,9,1),(4,5,9),(4,7,0),(4,8,1),(4,9,2),(5,6,0),(5,7,1),(5,8,2),(5,9,3),(6,7,2),(6,8,3),(6,9,4),(7,8,4),(7,9,5),(8,9,6),32 个数,调换顺序,共 32A338=184 个数(注意 0 不能作首位).

综上所述,所求个数为 18+24+184=226

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