在区间 [100,999] 上,调换数位的排列顺序后可被 11 整除(如 121 和 211)的数的个数为_______.
答案 226.
解析 对于三位数 ¯abc,11∣¯abc 即 11∣a−b+c,也即 a+c=b 或 a+c=b+11.显然 b≠c.
情形一 a=b.此时 c=0,对应有 9 个数,加上调换顺序的,共 18 个数.
情形二 a=c.此时有 8 个数,加上调换顺序的,共 24 个数.
情形三 a,b,c 两两不等的.此时先考虑 a<c 的,有(1,2,3),(1,3,4),(1,4,5),(1,5,6),(1,6,7),(1,7,8),(1,8,9),(2,3,5),(2,4,6),(2,5,7),(2,6,8),(2,7,9),(2,9,0),(3,4,7),(3,5,8),(3,6,9),(3,8,0),(3,9,1),(4,5,9),(4,7,0),(4,8,1),(4,9,2),(5,6,0),(5,7,1),(5,8,2),(5,9,3),(6,7,2),(6,8,3),(6,9,4),(7,8,4),(7,9,5),(8,9,6),共 32 个数,调换顺序,共 32A33−8=184 个数(注意 0 不能作首位).
综上所述,所求个数为 18+24+184=226.