每日一题[1805]因式分解

已知二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 的图象过点 $(1,13)$，且函数 $y=f\left(x-\dfrac 12\right)$ 是偶函数．

1、求 $f(x)$ 的解析式．

2、函数 $y=f(x)$ 的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} f(1)=13,\\ -\dfrac b2=\dfrac 12,\end{cases}\iff \begin{cases} b=1,\\ c=11,\end{cases}$$ 因此函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^2+x+11$．

2、如果函数 $y=f(x)$ 的图象上存在符合要求的点，设为 $P(m,n^2)$，其中 $m$ 为正整数，$n$ 为自然数，则

$$m^2+m+11=n^2\iff 4n^2-(2m+1)^2=43,$$ 即 $$(2n+2m+1)(2n-2m-1)=43\implies \begin{cases} 2n+2m+1=43,\\ 2n-2m-1=1,\end{cases}\implies \begin{cases} m=10,\\ n=11,\end{cases}$$ 函数 $y=f(x)$ 的图象上存在符合要求的点，其坐标为 $(10,121)$．