每日一题[1803]七虚三实

对一切满足 $|x|+|y|\leqslant 1$ 的实数 $x,y$，不等式 $\left|2x-3y+\dfrac 32\right|+|y-1|+|2y-x-3|\leqslant a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac{23}2$

解析    记不等式左侧为 $f(x,y)$，则 $$f(x,y)=\left|2x-3y+\dfrac 32\right|+(-y+1)+(-2y+x+3)=\left|2x-3y+\dfrac 32\right|+x-3y+4,$$ 因此 $$f(x,y)=\begin{cases} 3x-6y+\dfrac{11}2,&2x-3y+\dfrac 32\geqslant 0,\\ -x+\dfrac 52,&2x-3y+\dfrac 32<0,\end{cases}$$ 而 $$3x-6y+\dfrac{11}2\leqslant 6(|x|+|y|)+\dfrac{11}2le \dfrac{23}2,$$ 等号当 $x=0$，$y=-1$ 时取得；且 $$-x+\dfrac 52\leqslant |x|+|y|+\dfrac 52\leqslant \dfrac 72,$$ 因此所求实数 $a$ 的最小值为 $\dfrac{23}2$．