每日一题[1793]逐格试探

对正整数 $n$，设 $x_n$ 是关于 $x$ 的方程 $nx^3+2x-n=0$ 的实数根，记 $a_n=\big[(n+1)x_n\big]$（$n=2,3,\cdots$）（符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则 $\dfrac 1{1005}(a_2+a_3+a_4+\cdots +a_{2011})=$ _______．

答案    $2013$．

解析    由于函数 $f(x)=nx^3+2x-n$ 是单调递增函数，且

$$f\left(\dfrac n{n+1}\right)=\dfrac{n(-n^2+n+1)}{(n+1)^3}<0<2=f(1),$$ 因此 $$n<(n+1)x_n<n+1\implies a_n=n,$$ 因此 $$\dfrac 1{1005}(a_2+a_3+a_4+\cdots +a_{2011})=2013.$$