每日一题[1790]异面垂直

正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中， $D$ 为 $AC$ 的中点．

1、证明： $AB_{1}\parallel BDC_{1}$ ．

2、当 $\dfrac{AA_{1}}{AB}$ 取何值时， $AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 垂直？

解析

1、连接 $B_1C$ 与 $BC_1$ 交于点 $E$ ，连接 $DE$ ，如图．

由于 $E$ 平分 $B_1C$ ， $D$ 平分 $AC$ ，于是 $AB_1\parallel DE$ ，从而 $AB_1\parallel BDC_1$ ．

2、根据空间余弦定理，有

A B_{1} ⊥ B C_{1} ⟺ A B^{2} + B_{1} C_{1}^{2} = B B_{1}^{2} + A C_{1}^{2},

$AB_1\perp BC_1\iff AB^2+B_1C_1^2=BB_1^2+AC_1^2,$ 设

A A_{1} = x

$AA_1=x$ ，

A B = 1

$AB=1$ ，则

1^{2} + 1^{2} = x^{2} + (1^{2} + x^{2}) ⟹ x = \frac{\sqrt{2}}{2},

$1^2+1^2=x^2+(1^2+x^2)\implies x=\dfrac {\sqrt 2}2,$ 因此所求比值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\dfrac{\sqrt 2}2$ ．

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