每日一题[1786]补形

三棱锥 $S-ABC$ 中,侧棱 $SA,SB,SC$ 两两垂直,$M$ 为 $\triangle ABC$ 的重心,$D$ 为 $AB$ 的中点,作与 $SC$ 平行的直线 $DP$.

1、求证:$DP$ 与 $SM$ 相交.

2、求证:设 $DP$ 与 $SM$ 的交点为 $D'$,则 $D'$ 为三棱锥 $S-ABC$ 的外接球的球心.

解析

1、如图,将三棱锥补成长方体 $SAC'B-CB'S'A'$,则 $DP$ 与 $SM$ 均在面 $SCS'C'$ 内,因此 $DP$ 与 $SM$ 相交.

2、根据第 $(1)$ 小题的辅助线作法,可得 $D'$ 为长方体体对角线 $SS'$ 的中点,因此 $D'$ 为 $S-ABC$ 的外接球球心.

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