每日一题[1785]一物多用

用一些卡片打印三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 $198$ 倒过来看是 $861$;有的卡片则不然,如 $531$.因此有些卡片可以一卡两用,欲使 $900$ 个三位数都可以用这些卡片表示,那么至少需要打印_______张卡片.\[\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline \text{倒置}&0&1&-&-&-&-&9&-&8&6\\ \hline\end{array}\]

答案    $866$.

解析    将卡片上的数字倒过来仍为三位数,这些数的十位数字可取 $1,2,6,8,9$,而百位数字和各位数字只可取 $1,6,8,9$,这种三位数共有 $5\cdot 4^2=80$ 个,但其中有的倒过来后与原数相同,这类数有 $3\cdot 4=12$ 个,因此至少需要打印的卡片张数为\[900-\dfrac{80-12}2=866.\]

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