每日一题[1779]割补

设 $A(2,0)$ 为平面上的一定点，$P(\sin(2t-60^\circ),\cos(2t-60^\circ))$ 为动点，则当 $t$ 由 $15^\circ$ 变到 $45^\circ$ 时，线段 $AP$ 所扫过的图形的面积是_______．

答案    $\dfrac{\pi}6$．

解析    根据题意，$P$ 点轨迹是从 $P_1\left(\dfrac{2\pi}3:1\right)$ 到 $P_2\left(\dfrac{\pi}3:1\right)$ 的圆弧，因此线段 $AP$ 所到过的图形即图中阴影部分．

考虑到 $\triangle P_1OA$ 与 $\triangle P_2OA$ 的面积相同，因此曲边三角形 $AP_1P_2$ 的面积与扇形 $OP_1P_2$ 的面积相同，为 $\dfrac{\pi}6$．