每日一题[1764]格点计算

将号码分别为 $1,2,\cdots,9$ 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为 $a$，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为 $b$，则使不等式 $a-2b+10>0$ 成立的事件发生的概率等于_______．

答案    $\dfrac{61}{81}$．

解析   

如图，$(a,b)$ 的总事件空间基本事件数为 $81$，其中题中事件包含的基本事件数为格点四边形 $OABC$ 的内部格点数，$O$ 为坐标原点，$A(0,5)$，$B(10,10)$，$C(10,0)$．

格点四边形 $OABC$ 的面积为 $75$，边上的格点数为

$$6+11+11+6-4=30,$$ 因此根据皮克公式，其内部格点数为 $61$，因此所求概率为 $\dfrac{61}{81}$．