每日一题[1764]格点计算

将号码分别为 $1,2,\cdots,9$ 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为 $a$ ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为 $b$ ，则使不等式 $a-2b+10>0$ 成立的事件发生的概率等于_______．

答案 $\dfrac{61}{81}$ ．

解析

如图， $(a,b)$ 的总事件空间基本事件数为 $81$ ，其中题中事件包含的基本事件数为格点四边形 $OABC$ 的内部格点数， $O$ 为坐标原点， $A(0,5)$ ， $B(10,10)$ ， $C(10,0)$ ．

格点四边形 $OABC$ 的面积为 $75$ ，边上的格点数为

6 + 11 + 11 + 6 - 4 = 30,

$6+11+11+6-4=30,$ 因此根据皮克公式，其内部格点数为

61

$61$ ，因此所求概率为

\frac{61}{81}

$\dfrac{61}{81}$ ．

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