每日一题[1763]有理解

方程组 $\begin{cases}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0,\end{cases}$ 的有理数解 $(x,y,z)$ 的个数为_______.

答案    $2$.

解析    根据题意,$x,y,z$ 是关于 $t$ 的方程\[t^3-yt+z=0\]的三个有理根.将 $t=z$ 代入,有\[z^3-yz+z=0\iff z(z^2-y+1)=0.\]

情形一    $z=0$.此时将 $t=y$ 代入,有\[y^3-y^2=0\implies y=0\lor y=1,\]对应解得 $(x,y,z)=(0,0,0),(-1,1,0)$.

情形二    $z\ne 0$.此时 $y=z^2+1$,又 $z=y^2-y^3$,于是\[y=(y^2-y^3)^2+1,\]此关于 $y$ 的方程若有有理根,只可能为 $y=\pm 1$,进一步可得不符合题意. 综上所述,所求有理解的个数为 $2$.

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