方程组 $\begin{cases}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0,\end{cases}$ 的有理数解 $(x,y,z)$ 的个数为_______．
答案 $2$．
解析 根据题意，$x,y,z$ 是关于 $t$ 的方程\[t^3-yt+z=0\]的三个有理根．将 $t=z$ 代入，有\[z^3-yz+z=0\iff z(z^2-y+1)=0.\]
情形一 $z=0$．此时将 $t=y$ 代入，有\[y^3-y^2=0\implies y=0\lor y=1,\]对应解得 $(x,y,z)=(0,0,0),(-1,1,0)$．
情形二 $z\ne 0$．此时 $y=z^2+1$，又 $z=y^2-y^3$，于是\[y=(y^2-y^3)^2+1,\]此关于 $y$ 的方程若有有理根，只可能为 $y=\pm 1$，进一步可得不符合题意． 综上所述，所求有理解的个数为 $2$．