每日一题[1764]格点计算

将号码分别为 $1,2,\cdots,9$ 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为 $a$,放回后,乙从袋中再摸出一个球,其号码为 $b$,则使不等式 $a-2b+10>0$ 成立的事件发生的概率等于_______.

答案    $\dfrac{61}{81}$.

解析   

如图,$(a,b)$ 的总事件空间基本事件数为 $81$,其中题中事件包含的基本事件数为格点四边形 $OABC$ 的内部格点数,$O$ 为坐标原点,$A(0,5)$,$B(10,10)$,$C(10,0)$.

格点四边形 $OABC$ 的面积为 $75$,边上的格点数为\[6+11+11+6-4=30,\]因此根据皮克公式,其内部格点数为 $61$,因此所求概率为 $\dfrac{61}{81}$.

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