已知正六边形 $ABCDEF$，沿 $AC,AD,AE$ 折叠，使 $B,F$ 重合形成多面体 $ABCDE$，则 $\frac{|AB|\cdot |CE|\cdot |DF|}{[BCDE]}$（$[BCDE]$ 表示四面体 $BCDE$ 的体积）能取得的最小正整数值为_____．
答案 $13$．
解析 不妨设 $|AB|=1$，折叠完成后，有 $\triangle BDC,\triangle BDE$ 全等，进而 $C,E$ 关于平面 $ABD$ 对称，设 $CE\perp ABD$ 于 $M$，则 $M$ 为 $CE$ 中点，设 $|AM|=x$，则\[|CM|=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{3-x^2},\]于是\[|MB|=|MD|=\sqrt{1-CM^2}=\sqrt{x^2-2},\]且当 $C-AD-E$ 趋于 $0$ 时，$|CM|\to 0$，$|AM|\to \sqrt 3$，而当 $C-AD-E$ 趋于 $\pi$ 时，$|CM|\to \frac{\sqrt 3}2$，$|AM|\to \frac 32$，因此 $x$ 的取值范围是 $\left(\frac 32,\sqrt 3\right)$，如图．
当 $x$ 确定时，多面体 $ABCDE$ 随之确定，因此\[f(x):=\frac{|AB|\cdot |CE|\cdot |DF|}{[BCDE]}=\frac{|AB|\cdot |CE|\cdot |DF|}{\frac 13\cdot [\triangle BDM]\cdot |CE|}=\frac{3\cdot |AB|\cdot |DF|}{\frac 12\cdot |BD|\cdot d(M,BD)}=\frac{6}{d(M,BD)},\]在 $\triangle ABM$ 中应用余弦定理，有\[\cos\angle BAM=\frac{|AB|^2+|AM|^2-|MB|^2}{2\cdot |AB|\cdot |AM|}=\frac{3}{2x},\]类似的 $^{[1]}$，在 $\triangle ADM$ 中应用余弦定理，有\[\cos\angle DAM=\frac{|AD|^2+|AM|^2-|MD|^2}{2\cdot |AD|\cdot |AM|}=\frac{3}{2x},\]因此\[\cos\angle BAD=2\cos^2\angle BAM-1=\frac{9}{2x^2}-1,\]从而\[|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2-2\cdot |AB|\cdot |AD|\cdot\cos\angle BAD=5-4\left(\frac{9}{2x^2}-1\right)=9-\frac{18}{x^2},\]因此\[d^2(M,BD)=|MB|^2-\frac 14|BD|^2=(x^2-2)-\frac14\left(9-\frac{18}{x^2}\right)=x^2+\frac{9}{2x^2}-\frac {17}4,\]进而 $d(M,BD)$ 的取值范围是 $\left(0,\frac 12\right)$，而 $f(x)$ 的取值范围是 $(12,+\infty)$，因此所求最小正整数值为 $13$．
备注
$[1]$ 由于 $\angle CAB=\angle CAD$，于是 $CA$ 在截面 $ABD$ 上的投影 $AM$ 是 $\angle BAD$ 的平分线．
$[2]$ 四面体 $BCDE$ 的体积\[\begin{split} [BCDE]&=\frac 16\cdot |CE|\cdot |BD|\cdot d(CE,BD)\\ &=\frac 16\cdot 2\sqrt{3-x^2}\cdot \sqrt{9-\frac{18}{x^2}}\cdot \sqrt{x^2+\frac 9{2x^2}-\frac{17}4}\\ &=\frac{(x^2-2)\sqrt{(3-x^2)(4x^2-9)}}{2x^2},\end{split}\]其中 $x^2$ 的取值范围是 $\left(\frac 94,3\right)$，其最大值的数值解为 $0.0964\cdots$，当 $x=1.6575\cdots$ 时取得．