每日一题[1762]引入参数

求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt x$ 的最小值和最大值.

答案    最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$,最大值为 $11$.

解析    函数的定义域为 $[0,13]$.因为\[\begin{split}y&=\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\\&=\sqrt{x+27}+\sqrt{13+2\sqrt{x(13-x)}}\\&\geqslant \sqrt{27}+\sqrt{13}\\&=3\sqrt 3 +\sqrt{13},\end{split}\]当 $x=0$ 时等号成立,故 $y$ 的最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$. 引入参数,由柯西不等式得\[\begin{split}y^2&=\left(\sqrt x +\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}\right)^2\\&\leqslant \left(\dfrac 1p +1+\dfrac 1q\right)(px+(x+27)+q(13-x))\\&=\left(\dfrac 1p+1+\dfrac 1q\right)(27+13q+(p+1-q)x),\end{split}\]等号当 $p^2x=x+27=q^2(13-x)$ 时取得,令\[\begin{cases} p+1-q=0,\\ \dfrac{27}{p^2-1}=\dfrac{13q^2-27}{q^2+1},\end{cases}\iff \begin{cases} p=2,\\ q=3,\end{cases}\]此时可得当 $x=9$ 时,$y$ 取得最大值为 $11$. 综上所述,题中函数的最小值为 $3\sqrt 3+\sqrt{13}$,最大值为 $11$.

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