已知曲线 $C:(|x y|-1)\left(\left|x^2-y^2\right|-2\right)=0$，则（ ）
A．曲线 $C$ 上任一点到原点的距离的最小值为 $\sqrt 2$
B．曲线 $C$ 恰有八条对称轴
C．过点 $(0,1)$ 的任意一条直线与曲线 $C$ 的公共点个数均为偶数
D．曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积 $S$ 满足 $2\pi<S<8$
答案 ABD．
解析 题中曲线 $C$ 是由四条等轴双曲线 $xy=1,xy=-1,x^2-y^2=2,x^2-y^2=-2$ 构成的，它们的实轴长均为 $2\sqrt 2$，如图．
对于选项 $\boxed{A}$，双曲线上实轴顶点到中心的距离最短，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，令 $(x,y)=(\theta:r)$，则曲线 $C$ 的方程为\[r^2|\sin2\theta|=2~\text{或}~r^2|\cos2\theta|=2,\]因此 $\theta=\frac{k\pi}8$（$k=1,2,\cdots,8$）为曲线 $C$ 的对称轴，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，取 $y=kx+1$ 与 $xy=1$ 联立，有\[x(kx+1)=1\iff kx^2+x-1=0,\]于是当 $k=-\frac 14$ 时，该直线与 $xy=1$ 相切；分别联立该直线与 $xy=-1,x^2-y^2=2,x^2-y^2=-2$，可得\[x^2-4x-4=0,\quad 15x^2+8x-48=0,\quad 15x^2+8x+16=0,\]因此分别有 $2,2,0$ 个公共点，此时该直线与曲线 $C$ 有 $5$ 个公共点，选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，考虑到\[1=|xy|\leqslant \frac{x^2+y^2}2,\quad 2=|x^2-y^2|\leqslant x^2+y^2,\]于是圆 $x^2+y^2=2$ 在曲线 $C$ 所围成的封闭图形内部（包含边界），因此 $S>2\pi$；考虑 $xy=1$ 与 $x^2-y^2=2$ 的公共点，解得其在第一象限公共点坐标为 $\left(\sqrt{\sqrt 2+1},\sqrt{\sqrt 2-1}\right)$，曲线 $C$ 所围成的封闭图形都在以 $O$ 为中心，$2\sqrt{\sqrt 2-1}$ 为边长的正八边形内部（包含边界），因此 $S<8$，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．