设等边三角形 $ABC$ 的内切圆半径为 $2$，圆心为 $I$．若点 $P$ 满足 $PI=1$，则 $\triangle APB$ 与 $\triangle APC$ 的面积之比的最大值为_______．
答案 $\dfrac {3+\sqrt 5}{2}$．
解析 如图，设 $\angle BAP=\dfrac{\pi}6+x$，$\angle CAP=\dfrac{\pi}6-x$，其中 $x\in\left[-\arcsin\dfrac14,\arcsin\dfrac14\right]$．
因此 $\triangle APB$ 与 $\triangle APC$ 的面积之比\[k=\dfrac{\dfrac 12\cdot AB\cdot (\sin\angle BAP\cdot PA)}{\dfrac 12\cdot AB\cdot(\sin\angle CAP\cdot PA)}=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6+x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}6-x\right)},\]当 $x=\arcsin\dfrac 14$ 时取得最大值，为\[\dfrac{\dfrac 12\cos \arcsin\dfrac 14+\dfrac{\sqrt 3}2\sin \arcsin\dfrac 14}{\dfrac12\cos \arcsin\dfrac 14-\dfrac{\sqrt 3}2\sin \arcsin\dfrac 14}=\dfrac{\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{15}}4+\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac14}{\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{15}}4-\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac14}=\dfrac{3+\sqrt 5}2.\]